矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。
这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：
一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。
但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)
这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。
以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。
有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。
既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。
大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。 好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：
1 while(N)
2 {
3 if(N&1)
4 res=res*A;
5 n>>=1;
6 A=A*A;
7 }
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里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。
第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。
好吧，矩阵快速幂的讲解就到这里吧。在文章我最后给出我实现快速幂的具体代码（代码以3*3的矩阵为例）。
现在我就说下我对二进制的感想吧：
我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化
1.多重背包问题
2.树状数组
3.状态压缩DP
模板：
1 int N;
2 struct matrix
3 {
4 int a[N][N];
5 }origin,res;
6 matrix multiply(matrix x,matrix y)
7 {
8 matrix temp;
9 memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
10 for(int i=0;i 11 { 12 for(int j=0;j 13 { 14 for(int k=0;k 15 { 16 temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; 17 } 18 } 19 } 20 return temp; 21 } 22 void calc(int n) 23 { 24 memset(res.a,0,sizeof(res.a)); 25 for(int i=0;i 26 res.a[i][i]=1; //将res.a初始化为单位矩阵 27 while(n) 28 { 29 if(n&1) 30 res=multiply(res,origin); 31 n>>=1; 32 origin=multiply(origin,origin); 33 } 34 } View Code